L’EXPÉRIENCE DE CAVENDISH

I - Introduction

Parmi les forces fondamentales il en est une de toute première importance pour l'astronomie ; c'est la force de la gravitation ; Nous devons dire plus exactement "de la gravitation universelle", car, comme l'a proposé Newton au XVII^e siècle, tous les corps s'attirent deux à deux. La gravitation est partout ; Nous l'expérimentons tous les jours par l'attraction terrestre. Mais comment mesurer la force d'attraction entre deux masses ordinaires ? Cette force ne se manifeste pas dans la vie courante. Mais la foi dans la relation de Newton, bien justifiée par l'analyse du mouvement de la Lune et des planètes, a poussé les savants à tenter la mesure. La première tentative par le géophysicien Pierre Bouguer (1698-1758) consista à mesurer la faible variation de la position d’un fil à plomb au voisinage de la masse d’un volcan des Andes. Cette expérience fut un échec car les déviations obtenues étaient trop faibles.

Cette méthode fut reprise par deux anglais Nevel Maskelyne et Charles Hutton en 1755. Ils firent des expériences concluantes au pied d’une montagne en Écosse et déterminèrent ainsi que la densité de la Terre devait se situer entre 4,5 et 5. Il faudra attendre l’arrivée de nouveaux moyens techniques plus sensibles pour pouvoir mesurer directement cette force. La vérification expérimentale commencera grâce au travail de John Michell, repris par Henry Cavendish en 1798 et perfectionné en 1895 par Sir Charles Vernon Boys.

II - Les premières réussites expérimentales

Les deux expériences que nous allons vous présenter sont basées sur le principe de la balance de torsion de Charles Augustin Coulomb (1736-1806), initialement utilisée pour mesurer la force entre deux charges électriques. Le principe est illustré ci-contre (Fig. 2). Sous l'effet de l’attraction gravitationnelle entre les boules est produit un couple qui tend à faire tourner le fléau horizontal.

Lors du changement des positions des grosses boules, le fléau, va passer d’un état d’équilibre à un autre. Il y aura rotation du fléau. La mesure de l’angle de rotation permettra de remonter au couple de torsion. Cependant ce couple fait intervenir les caractéristiques mécaniques du fil de suspension (en particulier sa constante de torsion). Pour déterminer cette constante, il suffit de mesurer la période d'oscillation de la balance. Ainsi, la mesure de la période d’oscillation et de l’angle de rotation du fléau permet d’obtenir la force d’attraction cherchée.

Première expérience de Cavendish — Fig.3 - Première expérience
de Cavendish

Henry Cavendish perfectionne l'appareil de John Michell et réalise l'expérience qui va le rendre célèbre. La rigueur et la précision qu’il apporte à ce montage sont remarquables pour l’époque. Il obtient d’ailleurs de très bons résultats. Ci-contre (Figure 3) le dispositif utilisé par H. Cavendish (réf. Spagnol, 2003)

La première balance de torsion utilisée par Cavendish (Fig. 3 ci-dessus) utilise un fléau de bois long de 2 mètres. A chaque extrémité du fléau, est suspendue une boule de plomb de 5 cm de diamètre (0,73 kg). Les deux boules attractives ont 30 cm de diamètre et pèsent 158 kg chacune. Le fil de torsion est en cuivre argenté, de 1 mètre de longueur et de 34 µm de diamètre. La période d’oscillation est de 15 minutes. Cavendish trouve que la densité de la Terre est de 5,48 (les mesures modernes donnent une densité de 5,5270 - réf. Rival, 1996).

Henry Cavendish (1731-1810) était un homme curieux. Il organisa toute sa vie dans les moindres détails comme par exemple le choix unique du tissu de ses vêtements et le choix unique de leur coupe, la fréquence des changements, l'enchaînement des travaux domestiques, etc. Il n'avait donc nul besoin de parler à ses domestiques qui savaient toujours exactement ce qu'ils avaient à faire. On a pu penser à cause de cela qu'il était misanthrope. Il était très généreux. Ayant hérité d'une grosse fortune et ne voyant pas la nécessité de dépenser beaucoup, il fit construire pour sa commune des bâtiments publics (bibliothèque). Il fut un excellent chimiste qui contribua à produire l'acide chlorhydrique et à analyser la composition de l'eau. Bien que né à Nice il était citoyen anglais.

La figure 4, à droite, montre le dispositif utilisé par C. V. Boys en 1895 (réf. Spagnol, 2003). Contrairement à Cavendish, Sir Charles Vernon Boys ne désire pas mesurer la densité de la Terre mais il considère comme capitale la détermination de la constante de gravitation universelle. Selon ses dires, «Etant donné le caractère universel qui s’attache à la constante G, il me semble que c’est descendre du sublime au ridicule que d’annoncer les expériences dont je vais parler comme étant destinées à mesurer la masse de la Terre ou encore, avec moins de précision, le poids de la Terre.». Il réalise ses expériences en Angleterre, sur le même principe que celui utilisé par Cavendish (Fig. 4), mais il montre que la sensibilité est augmentée si on réduit les dimensions de la balance, car la constante de torsion varie comme la puissance quatrième du diamètre du fil. Plus fin est le fil, plus sensible est la balance (réf. Dévoré et Rivaud, 1965). Le fléau porte un petit miroir de 2,3 cm de largeur qui, visé avec une lunette astronomique, donne l'angle de rotation.

Ce fléau est suspendu par un fil de quartz de 2 µm de diamètre et porte à ses extrémités deux petites billes en or de 2,7 g. Les deux grosses boules, de 7,5 kilogrammes chacune, sont suspendues par des fils de bronze. Les billes situées de chaque côté du fléau ne sont pas suspendues à la même hauteur pour réduire l’attraction parasite de la sphère opposée.

Fig.4 - Balance de Boys, 1895

Sir Charles Vernon Boys (1855-1944) était un spécialiste dans la fabrication des fils de quartz. Il utilisait une technique originale : il accrochait du quartz fondu à la pointe d'une flèche qu'il tirait avec une arbalète. Le fil s'étirait jusqu'à atteindre en se refroidissant un très faible diamètre (de l'ordre de quelques microns). Il utilisa ces fils de quartz pour faire un fil de suspension de sa balance de torsion, car le quartz ne présente pas de phénomène d'hystérésis (mémoire d'une déformation antérieure). Boys effectua ses manipulations dans un souterrain, la nuit, pour éviter les vibrations. Il réalisa les meilleures mesures pendant la grève des charbonnages, durant laquelle les trains étaient arrêtés. Son dispositif était tellement sensible que, lors d’une mesure, il observa une grande variation sans pouvoir l’expliquer. Il apprendra plus tard que cela était dû à un tremblement de terre dont l’épicentre était situé en Roumanie. Boys donna une valeur de la constante de gravitation universelle : G= (6,663 ± 0,007) .10^-¹¹ N.m².kg^-².

Depuis, la technique s'est améliorée. En 1942, P.R. Heyl réalise la première mesure moderne. Il détermine les périodes du pendule pour deux positions différentes des masses attirantes. En 2000, une autre expérience est faite à l'université de Washington par J. Gundlach et S. Merkowitz : ils mesurent l'accélération du fléau tandis qu'un mécanisme fait tourner l’appareil de manière à annuler la torsion du fil de suspension. En 1986, on avait mesuré la valeur de la constante de gravitation universelle : G=6,673.10^-¹¹N.m².kg^-². Cette valeur est encore au cœur de discussions scientifiques les derniers résultats tendraient à donner : G=(6,6741±0,0002).10^-¹¹N.m².kg^-².

L'expérience de Cavendish est répétée régulièrement dans quelques grands laboratoires, y compris en France au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). Les mêmes précautions sont prises qu'autrefois (travail de nuit en périodes calmes pour éviter les vibrations). Un soin extrême est apporté à la réalisation de masses attractives très homogènes. Les dimensions doivent être connues avec une grande précision (mieux que le micron). Ceci explique que dans l'expérience du BIPM les masses attractives soient des cylindres d'un alliage de cuivre, plus facile à usiner avec précision. Des tests d'homogénéité ont été effectués sur des tranches des barreaux de cuivre. La balance du BIPM peut travailler dans différents modes :

1) Expérience statique comme l'expérience originelle de Cavendish.
2) Mode dynamique, comme dans l'expérience de Heyl, où on mesure les périodes d'oscillation du fléau dans différentes configurations.
3) Mode "électrique" où la force de gravitation entre les masses est compensée par une force électrique que l'on évalue.

Dans notre expérience de démonstration nous avons utilisé une autre méthode qui consiste à mesurer l'accélération que subit une petite masse attirée par une grosse masse (voir l'encadré à la fin du texte). Pendant les premières secondes de cette "chute libre", le ruban de suspension n'offre pas encore de couple de rappel. L'accélération que l'on mesure conduit directement à la détermination de G. Un nouveau projet consiste à prolonger cette "chute libre" comme dans l'expérience de Washington.

III - Détails sur la construction d'une balance de Cavendish

Petite balance de Cavendish — Fig.5 - Petite balance
de Cavendish

La première chose à faire est de rassembler le matériel : principalement le plomb (6 ou 7 kilogrammes) sous la forme de vieux tuyaux, un tube en aluminium d'un mètre de long et d'environ 25 millimètres de diamètre. Pour le reste, un peu de bois, quelques chutes de tôle d'aluminium. Enfin, il faut récupérer un petit miroir et un pointeur laser. Nous pouvons commencer la réalisation. Voici une photo de la première balance terminée (Fig. 5) dans laquelle le déplacement des masses attractives se faisait à la main (réf. Paturel, 2003a).

Si vous êtes tenté par l'expérience, vous savez qu'en respectant les caractéristiques essentielles le résultat sera correct. Les sphères modèles, qui serviront à la fabrication des moules, sont constituées d'une bille de roulement de 2,5cm de diamètre (ou 1,8cm pour la deuxième balance) et d'une boule en polystyrène de 7cm de diamètre. On badigeonne le modèle avec du savon noir. On remplit de plâtre un pot en plastique jusqu'au quart de sa hauteur. Quand le plâtre est dur, on pose le modèle de sphère sur ce socle encore frais. On complète avec du plâtre un peu liquide jusqu'au milieu de la sphère modèle (on aura pris soin de tracer le cercle équatorial avant l'opération). On attend alors que le plâtre soit bien dur. On démoule le bloc qui constitue la première partie du moule. On vérifie que la sphère modèle se décolle facilement. Avec un couteau on fait trois encoches en "V" sur les bords du moule. Ces encoches serviront de détrompeur pour que les deux parties du moule soient toujours placées exactement dans la même position. On remet ensuite le bloc de plâtre et le modèle dans le pot en plastique. On badigeonne la surface et les encoches avec du savon noir. On remplit ensuite complètement le pot avec une nouvelle coulée de plâtre. On a ainsi constitué la deuxième partie du moule. Quand le plâtre est bien dur, on ouvre les deux parties du moule et on enlève la sphère modèle. Il ne reste qu'à tailler au couteau deux demi-cheminées coniques de coulage sur chacun des deux blocs du moule, de telle manière que, une fois le moule refermé, les deux demi-cheminées constituent une unique cheminée conique. Cette cheminée ne doit pas être trop étroite (8 à 10 mm de diamètre) pour que l'air puisse sortir du moule pendant la coulée du plomb. Avant utilisation, le moule doit être parfaitement sec.

Les grosses sphères de 7cm de diamètre ont une masse de 2kg. Fondre une telle masse réclame quelques précautions. Il est conseillé de faire l'opération, dehors (Fig. 6, réf. Paturel, 2003a). Le métal est fondu au chalumeau dans une casserole en acier, entourée de briques réfractaires et, détail important, il est conseillé de se placer de telle sorte que le vent éloigne les vapeurs nocives de plomb fondu, qui se forment dès 330 degrés, avant même l'ébullition.

Les deux parties du moule étant fermement maintenues ensemble par un serre-joint et le tout étant solidement fixé au sol, on coule doucement le métal dans la cheminée. La suite ne pose pas de problème majeur à une personne quelque peu méticuleuse.

Un morceau de bande magnétique d'une cassette audio constitue le "fil" de torsion, souple et résistant. Le fléau est constitué d'une baguette de bois aux extrémités de laquelle sont collées les petites billes en plomb (Fig. 7). Une pièce légère en tôle d'aluminium, fixée au centre du fléau, sert à la fois de support pour le miroir et de point d'attache pour le ruban de suspension. Le boîtier abritant tout l’équipage mobile est fermé par des vitres, pour éviter que les courants d'air ne perturbent la balance.

Les réglages.

On place la balance dans un local isolé ayant un sol rigide (dalle en béton) et on règle la verticalité du tube pour que le ruban soit bien libre. Ensuite, en jouant sur le point d'attache supérieur du ruban, on règle l'orientation du fléau pour le placer parallèlement aux vitres du boîtier. Cette opération est très longue. Il faudra sans doute plusieurs jours pour obtenir un réglage parfait, car chaque déplacement fait osciller la balance.

On met à profit les longues attentes nécessitées par les réglages pour monter les glissières de bois sur lesquelles les grosses boules vont se déplacer. Avec quelques baguettes et quelques chutes de bois le travail n'est pas difficile. Il faut simplement veiller à ce que ces glissières n'aient aucun contact avec la balance. Les baguettes sont directement collées sur le sol. Les grosses boules sont collées sur les parties mobiles des glissières. Quand on fait glisser une grosse boule d'un côté à l'autre, elle passe très près du boîtier sans jamais le toucher.

Il reste aussi à mettre en place le pointeur laser. Un bâti de bois est collé à même le sol. Le faisceau laser est dirigé sur le petit miroir du fléau. Il s'y réfléchit et va former un spot à l'autre bout de la pièce sur un petit écran (feuille de papier millimétrée collée en face de la balance). Attention de ne pas recevoir le faisceau dans l'œil.

Premiers essais.

C'est avec une certaine émotion qu'on effectue le premier essai. Il faut laisser la balance se reposer toute une nuit. Vous arrivez alors le lendemain, sur la pointe des pieds, vous allumez le laser et notez la position du spot sur le papier millimétré. Si vous n'avez pas perturbé le système par des déplacements violents, le spot doit être immobile. Vous allez calmement faire glisser les grosses boules pour les amener en face des petites sphères opposées (sans toucher la balance) et vous revenez surveiller le spot, à pas de loup. Lentement vous le verrez se déplacer (le déplacement est visible après quelques secondes). Vérifiez que le déplacement est bien dans la direction que laissait prévoir la géométrie du système. Le spot se déplacera de plusieurs centimètres et oscillera ainsi jusqu'à trouver une nouvelle position d'équilibre, après plusieurs heures. Vous pourrez répéter l'opération en inversant à nouveau les grosses sphères. Par plaisir on répétera l'expérience un grand nombre de fois. La gravitation n'est jamais mise en défaut.

Une mesure de la constante de la gravitation universelle G par une méthode dynamique (voir encadré ci-dessous) a été tentée. Le résultat a été relativement satisfaisant (G=7´10^-¹¹ S.I.). Une deuxième mesure conduite rapidement avec des stagiaires, en utilisant la seconde balance, a donné G=5´10^-¹¹ S.I. On a donc un résultat un peu meilleur qu'un simple ordre de grandeur.

IV - Une balance automatisée

Une seconde balance a été réalisée en 2005 pour l'année mondiale de la physique (Fig. 8, réf. Paturel et Flahaut, 2006). Cette deuxième version reprend les caractéristiques générales de la première balance (sauf que les petites billes n'ont que 1,8 cm de diamètre au lieu de 2,5 cm). Le déplacement des grosses boules est automatisé.

Cette balance a déjà sillonné la France (Amiens, Nice, Paris, Versailles, Lyon, Dijon). C'est cette nouvelle balance qui est présentée au Palais de la Découverte en collaboration avec les chercheurs du BIPM et du LNE. Cette expérience historique servira de support pour présenter les expériences en cours dans les laboratoires de l'Observatoire de Paris. L'enjeu est de donner une nouvelle définition plus stable du kilogramme étalon pour pouvoir un jour fixer G avec une précision meilleure (réf. Cheinet, 2005).

Cette balance est visible à l'Observatoire de Lyon, où elle peut être utilisée dans un but pédagogique.

V - Le film de l'expérience

VIII - Bibliographie

Cheinet P., Mesure absolue de l'attraction terrestre par interférométrie atomique et application à la définition d'une nouvelle unité de masse, Cahiers Clairaut, 2005, n°112, p16

Dévoré G., Rivaud J., Cours de Physique : Mécanique I, 1965, Editions Vuibert, p186

Paturel G., Construction d'une balance de Cavendish, Cahiers Clairaut, 2003a, n°104, p25

Paturel G., Mesure de G avec la balance de Cavendish, Cahiers Clairaut, 2003b, n°105, p29

Paturel G., Flahaut J., De la balance de Cavendish à la balance du watt, BUP, 2006

Rival M., Les grandes expériences scientifiques, 1996, Editions du Seuil, p59

Spagnol M.-L., L'Expérience de Cavendish : Les Expériences de Henry Cavendish et de Sir Vernon Boys. Cahiers Clairaut, 2003, n°103, p10

IX - Annexes

Méthode dynamique utilisée au CLEA

Au tout début de l'attraction, quand on vient juste de faire glisser une grosse sphère en face d'une petite, le ruban n'offre pas de résistance à la torsion. La petite sphère "tombe" librement sur la grosse. Si nous parvenions à mesurer l'accélération de cette "chute", nous pourrions en déduire G. L'accélération s'écrit : (3). Comment mesurer a ? Il faut enregistrer simultanément le déplacement du spot et le temps;

Figure 3 : Les photos successives montrant le spot et le chronomètre. On peut mesurer ainsi l'accélération produite par une sphère attractive.

courbe d'accélération L'accélération est normalement donnée par la relation classique de la dynamique. La représentation graphique (Figure 4) de a=a'/2 montre que l'accélération est à peu près constante pendant les premières secondes. On déduit de ces mesures que l'accélération est a=130×10^-6/3000 m.s^-2, soit: a=4,33 ×10^-8 m.s^-2. Il ne nous reste plus qu'à déduire G = a.d²/M. Avec d = 0,0575 m et M = 2,045 kg on aboutit à la valeur: G=7,0× 10^-11 N.kg^-2.m². La valeur actuelle est : 6,67× 10^-11 N.kg^-2.m².

Figure 4 : représentation graphique de la quantité a'/2=(x-x_o)/(t-t_o)².
Les points encerclés correspondent aux mesures
données par les trois photos de la Figure 3.

Mesure de la masse de la Terre par Cavendish

Selon la loi de Newton la force d'attraction entre deux masses ponctuelles est : force de Newton

M et m sont les masses des corps considérés, d la distance qui les sépare et G la constante de la gravitation universelle. Cette constante établit l’homogénéité des unités. Dans cette relation, la distance est supposée très grande devant la dimension des corps. Dans le cas des corps à symétrie sphérique, comme le sont les planètes ou les étoiles, il est possible de lever cette hypothèse, car toute la masse peut être considérée concentrée au centre du corps.
Le poids d'une masse n'est autre que la force gravitationnelle qui s'exerce entre cette masse et la masse de la Terre. En pratique, on a longtemps confondu la masse grave m d'un corps (celle qui intervient dans la gravitation) et le poids P.

La constante de proportionnalité g qui les relie est l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre. L'application de la loi de Newton montre que :

M_T et R_T étant respectivement la masse et le rayon de la Terre. La valeur familière de g est 9,81 m.s^-2.

S'il était possible de mesurer la force d'attraction F entre deux boules de masse m et M ayant des centres séparés d'une distance d, le rapport du poids de l'une et de la force mutuelle conduirait au rapport :

Le rayon de la Terre était connu depuis l'antiquité mais pas la masse de la Terre. La mesure du rapport P/F et de d conduit donc naturellement à la valeur de la masse de la Terre exprimée en valeur de M. Tel était l'objectif initial de Cavendish : connaître la masse de la Terre et donc sa densité moyenne.

G. Paturel, Avec la contribution de M.-L. Spagnol et …..